Georg Cantor：传记与数学无限

Georg Cantor创立了集合理论并引入了他发现基数的无限数量的概念。他还提出了对三角术系列的研究，是第一个证明真实数字的不能量。

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor出生于1845年3月3日的俄罗斯圣彼得堡。他的家人在俄罗斯住在俄罗斯十一年直到父亲的病重迫使他们搬到德国法兰克福的更可接受的环境，这是乔治将剩下的生活中的地方。

Georg在数学中表现出色。他的父亲看到了这份礼物，并试图将他的儿子推入更有利可图但不太具有挑战性的工程领域。Georg对这个想法并不感到高兴，但他缺乏站在他父亲并被侮辱的勇气。然而，经过几年的培训，他变得如此厌倦了他的想法，他努力求求父亲成为一个数学家。最后，就在进入大学之前，他的父亲让Georg研究数学。

1862年，Georg Cantor进入苏黎世大学，仅在父亲的死亡之后将明年转移到柏林大学。在柏林，他研究了数学，哲学和物理学。在那里，他在包括当天的一些最大的数学家下学习，包括Kronecker和Weierstrass。在从柏林1867年收到他的博士后，他无法找到良好的就业，被迫接受一个未付讲师的职位，后来作为哈勒大学助理教授1869年。1874年，他结婚并有六个孩子。

也就是在1874年，康托尔发表了第一篇关于集合理论的论文。在分析问题的研究中，他深入研究了问题的基础，特别是集和无限集。他的发现使他困惑不解。在从1874年到1897年的一系列论文中，他证明了整数集与方程的偶数、平方、立方和根的集合具有相同数量的成员;线段上的点数等于无限条直线、平面和所有数学空间上的点数;超越数的数量，如pi(3.14159)和e(2.71828)，永远不会是任何代数方程的解，比整数的数量要大得多。

在以前的数学中，“无穷大”是一门神圣的学科。在此之前，高斯曾说过无穷大只能作为一种表达方式而不是一个数学值。大多数数学家听从了他的建议，离开了。然而，康托尔并没有就此罢休。他认为无限集不仅是永远的，而且是完整的实体，它有一个实际的但却是无限的成员。他把这些实际的无限数称为超限数。通过考虑具有超限成员数的无限集，康托能够提出他的惊人发现。由于他的工作，他于1879年被提升为正教授。

然而，他的新思想也为他赢得了许多敌人。许多数学家就是不愿意接受他打破数学世界的开创性思想。利奥波德·克罗内克(Leopold Kronecker)就是这些批评者之一。克罗内克坚信，只有整数才是数字，而负数、分数、虚数，尤其是无理数在数学中是没有意义的。他根本无法处理真正的无限。他利用自己在柏林大学(University of Berlin)教授的威望，尽其所能压制康托的思想，毁了他的一生。除此之外，他还拖延或完全压制了康托及其追随者的出版，在学生面前贬低他的观点，并阻止了康托在著名的柏林大学获得一席之地的人生抱负。

并非所有的数学家都对Cantor的想法具有敌意。一些伟大的伟大者，如Karl Weierstrass，长期朋友Richard Dedekind支持他的想法并攻击了Kronecker的行为。但是，这还不够。坎托尔根本无法处理它。在第三次机构中陷入了困境，为他的工作和当务之急，克隆了当之无愧的攻击，他在1884年遭受了许多神经故障的第一个。

在1885年，克兰人继续扩大他的基数和订单类型的理论。他延长了他的订单类型理论，以便现在他先前定义的序号成为特殊情况。1895年和1897年CANTOR在集合理论上发表了最后的双重论文。CONTOR证明，如果A和B设置为相当于B和B子集等于A和B的子集等同的子集。Felix Bernstein和Schröder还证明了本定理。

他的余生是在精神病院内外度过的，他的工作几乎完全停止了。他的理论终于在世纪之交得到认可，但对他来说为时已晚。1904年，他被伦敦皇家学会授予奖章，并成为伦敦数学学会和哥廷根科学学会的成员。1918年1月6日，他死于精神病院。

今天，康托的著作被广泛应用于数学的许多领域。他关于无限集的理论重新确立了几乎所有数学领域的基础，并将数学带入了现代形式。

II。无穷

大多数人都熟悉无限符号。有多少无数很多？“从这里到无穷大”有多远？无限有多大？

我们无法算作无限。然而，我们对这个想法感到舒服，即无数有数量的数字与：无论你可能会出现多大，其他人可以提出一个更大的一个：数字加上一两个或多次，或者二。没有最大的数字。

无限是一个数字吗？有什么比无穷大的东西？Infinity怎么样加一个？什么是无限加无限？无限次无限呢？无限概念的儿童是全新的，这样的姿势问题，并且通常不会得到非常满意的答案。对于成年人来说，这些问题似乎对日常生活产生了非常多的影响，因此他们不满意的答案似乎并不是一个关注的问题。

在世纪之交，Cantor将数学严格的工具应用于关于无限远的问题，以寻求令人满意的答案。他的结论是我们日常经历的矛盾，但它们是数学上的声音。我们日常经历的世界是有限的。我们不能完全说出边界线的位置，而是超越有限的，在Transfinite的领域，事情是不同的。

套和设定理论

Cantor是数学分支的创始人称为集合理论，是20世纪数学的基础。在集合理论的核心是一个镜子大厅 - 矛盾的无穷大。众所周知，Georg Cantor表示，“我看到了，但我不相信，”关于他的一个证据。

该组是响铃刻录的数学对象。他定义了一个集合，作为任何被视为单一的良好区分和明确定义的对象的集合。匹配菜肴的集合是一个集合，以及数字集合。即使是一个看似无关的东西的集合，{电视，Aardvark，汽车，6}也是一套。它们是明确的，可以彼此区分。

集合可以大也可以小。它们也可以是有限的和无限的。有限集的成员个数是有限的。不管有多少，只要有足够的时间，你都可以数一数。康托在考虑具有无限成员的集合时得出了令人惊讶的结果。集合，比如所有的计数数，或者所有的偶数，都是无限集合。

为了研究无限套装，符号首先正式确定了有限套装直观和明显的许多东西。起初，似乎这些形式鉴定只是一个困难的困难，一种使简单的东西复杂的方式。因为形式主义显然是正确的，但是，它们提供了一个强大的工具，用于检查不那么简单，直观或明显的东西。

陈列尔需要一种方法来比较套件的大小，一些方法来确定集是否具有相同数量的成员。如果两套没有相同数量的成员，则需要一种讲述哪一个更大的方法。当然这对于有限套装很简单。您在两组中计算成员。如果数字是相同的，它们的大小是相同的。如果一个组中的成员数大于另一个的成员数量，则该设置更大。

但是，您不能计算无限集合中的成员，因此此方法不能用于比较它们的大小。如果存在两个无限集，那么必须有其他方法来判断其中一个是否更大。

康托用来比较集合大小的正式概念是一对一对应的概念。一一对应使一个集合的成员与另一个集合的成员配对。在这种意义上能够彼此匹配的集合被称为具有相同的基数。我们可以把虚集的元素配对起来

{Television，Aardvark，Car，6}与数字{1,2,3,4}。可以这样做，使得每个组的一个成员与另一个成员配对，没有成员被遗漏，没有成员有多个合作伙伴。然后我们可以确定集合{1,2,3,4}与集合{Television，Aardvark，Car，6}具有相同数量的成员。

一对一的对应：

{Television，Aardvark，Car，6}

{1,2,3,4}

那么，什么是更大的？无限+ x？无限+无限？或无限（无限）？计算哪个更大的陈旧组和一对一的对应关系。

这些一对一的对应组表明，即使我们添加了一个未知的变量，乘以两个，和平方，上部和下部仍然保持相等。由于我们永远不会耗尽数字，因此任何具有两个无限值的通信设置将是相等的。由于其成员可以将其成员彼此一对一的对应关系，所有这些集合都显然具有相同的基数。这些集合据说是可计算的无限，他们的基数由希伯来字母aleph用下标的哈夫，。

其他的永恒

哈托斯想到一旦你开始处理信息，一切都是相同的大小。这并没有成为这种情况。唱歌开发了整个经菲尼特算术理论，数量超越无限的数量。虽然无限数量的计数数，偶数，奇数，方形数等的大小是相同的，但是还有其他集合，例如可以表示为小数的数字集，例如，这更大。陈克斯的工作表明，有更大的无限层次结构。最大的一个被称为连续体。

一些在19世纪末生活的数学家并不希望接受他的工作。他的结果是如此矛盾的事实并非如此如此的问题，因为他认为无限套装。此时，一些数学家认为数学只能考虑可以直接从计数编号构建的对象。他们不能列出无限集中的所有元素，所以你对无限集的任何东西都不是数学。这些数学家中最强大的是Leopold Kronecker甚至开发了一个不包括任何负数的数字理论。

尽管克罗内克并没有说服很多同时代的人放弃所有依赖于负数存在的结论，但康托的工作是如此具有革命性，以至于克罗内克认为它“走得太远”的论点似乎是可信的。克罗内克是当时重要的数学期刊的编委会成员，他利用自己的影响力阻止康托的很多作品在他有生之年出版。康托去世时并不知道，他的思想不仅会盛行，而且会影响20世纪的数学进程。